柯西分布——正态分布的兄弟-白红宇

柯西分布——正态分布的兄弟

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发布时间：2019-06-29

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观察变量分布时最重要的三个特性之一是胖-瘦（另两个是：单模-多模；对称-有偏），柯西分布和正态分布是极易混淆的分布曲线。

柯西分布也叫作柯西-洛伦兹分布，它是以与名字命名的连续，其为

$f(x; x_0,\gamma) = \frac{1}{\pi\gamma \left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} \!$

$= { 1 \over \pi } \left[ { \gamma \over (x - x_0)^2 + \gamma^2 } \right] \!$

其中x₀是定义分布峰值位置的，γ是最大值一半处的一半宽度的。

作为概率分布，通常叫作柯西分布，也将之称为洛伦兹分布或者Breit-Wigner分布。在中的重要性很大一部分归因于它是描述受迫的的解。在中，它描述了被共振或者其它机制加宽的谱线形状。在下面的部分将使用柯西分布这个统计学术语。

x₀ = 0且γ = 1的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为

$f(x; 0,1) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}. \!$

特性

其累积分布函数为：

$F(x; x_0,\gamma)=\frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2}$

柯西分布的逆累积分布函数为

$F^{-1}(p; x_0,\gamma) = x_0 + \gamma\,\tan(\pi\,(p-1/2)). \!$

柯西分布的、或者都没有定义，它的与有定义都等于 x₀。

取 X 表示柯西分布随机变量，柯西分布的表示为：

$\phi_x(t; x_0,\gamma) = \mathrm{E}(e^{i\,X\,t}) = \exp(i\,x_0\,t-\gamma\,|t|). \!$

如果 U 与 V 是为 0、为 1 的两个独立随机变量的话，那么比值 U/V 为柯西分布。

标准柯西分布是自由度为1的特殊情况。

柯西分布是：如果 $X\sim\textrm{Stable}(1,0,\gamma,\mu)$ ，则 $X\sim\textrm{Cauchy}(\mu,\gamma)$ 。

如果 X₁, …, X_n 是分别符合柯西分布的随机变量，那么（X₁ + … + X_n）/n 有同样的柯西分布。为了证明这一点，我们来计算采样平均的：

$\phi_{\overline{X}}(t) = \mathrm{E}\left(e^{i\,\overline{X}\,t}\right) \,\!$

其中， $\overline{X}$ 是采样平均值。这个例子表明不能舍弃中的有限变量假设。

洛仑兹线性分布更适合于那种比较扁、宽的曲线高斯线性分布则适合较高、较窄的曲线当然，如果是比较居中的情况，两者都可以。很多情况下，采用的是两者各占一定比例的做法。如洛伦茨占60%，高斯占40%.

柯西-洛伦兹分布
概率密度函数绿线是标准柯西分布
累积分布函数与上图中的颜色对应
参数	$x_0\!$ （） $\gamma > 0\!$ （实数）
	$x \in (-\infty; +\infty)\!$
	$\frac{1}{\pi\gamma\,\left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} \!$
	$\frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2}$
	{ { {notation}}}
	（没有定义）
	$x_0$
	$x_0$
	（没有定义）
	（没有定义）
	（没有定义）
	$\ln(4\,\pi\,\gamma)\!$
	（没有定义）
	$\exp(x_0\,i\,t-\gamma\,\|t\|)\!$

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